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전압분배법칙과 저항사다리 회로 본문
회로이론에서는 가장 중요한 3가지의 법칙이 있습니다. 바로 옴의법칙, KVL, KCL입니다. 이것들로 대부분의 회로를 해석할 수 있기 때문입니다. (너무 기본적인 법칙이기에 굳이 설명하지 않고 넘어가겠습니다.)
문제는 옴의법칙,KVL, KCL이 아무리 중요하고 회로해석에 제한이 없다고 하더라도 너무 기본적이라 너무 많이 사용하게 됩니다.(거 왜 우리가 이론상 포크레인대신 숫가락으로 건물을 지을수'는' 있잖아요.) 그렇기때문에, 공학도들은 이러한 기본적인 공식들을 기반으로 다듬어서 빠르게 사용가능한 다른 법칙들을 만들었습니다. 이때 주로 사용되는 공식이 전압분배법칙, 전류분배법칙, Node Voltage, Mesh Current가 있습니다. 오늘은 이 중에서 전압분배법칙과 이를 사용한 예시인 저항사다리 회로를 다룰려고 합니다.
저항
회로이론에서 가장 기본적인 소자입니다. 저항은 전자의 이동을 방해하고 전압강하를 일으킵니다. 이때 전압강하는 저항과 전류의 곱으로 결정됩니다. 직관적으로 생각해도 '저항은 방해하는 성질이다. 같은 양(같은 크기의 전류)이 들어오면 더 많이 방해할 것이다.'라고 사고해도 맞습니다. 이게 그 유명한 옴의 법칙 입니다. 그러면 전류값이 같다면 전압강하는 저항값이 비례하겠죠?
예시를 들어보자면 1kΩ에 5mA의 전류가 흐른다면 전류가 흘러들어가는 곳의 전위는 전류가 흘러나오는 곳 보다 5V(1k×5m)높다는 것 입니다.
전압분배법칙
그러면 옆의 회로도를 생각해봅시다. 저항이 직렬로 있기 때문에 두개의 저항에 같은값의 전류가 흐릅니다.
이걸 옴의법칙으로 수식으로 작성하면...
- V1=I×R1
- V2=I×R2
가 되겠죠? 근데 전류의 경우 두 수식 다 같습니다. 그래서 식을 간략화하면
- V1∝R1
- V2∝R2
가 됩니다. 보시다시피 두 저항에서 전압강하는 개별 저항의 저항값에 비례하게 됩니다.
이걸 전압의 입장에서 해석할 수도 있습니다. 전압의 경우 에너지보존 법칙에 따라 VT=V1+V2입니다. 근데 저희는 저항값으로 각 저항에서의 전압강하를 알 수 있습니다. 따라서 전체 전압을 가지고도 개별전압도 알 수 있습니다. 이게 전압분배법칙입니다. 이를 수식으로 나타낸다면...
- V1=(VT×R1)/(R1+R2)
- V2=(VT×R2)/(R1+R2)
입니다.
마지막으로 이걸 정리해서 비례식으로 표현하면...
- R1:R2=V1:V2 and VT=V1+V2
입니다.
직관적으로 보자면...
저항은 전압강하를 일으킴
이때 흘러간 전류가 많을수록, 저항값이 클수록 많이 일으킴
따라서 같은 전류가 다른저항에 흐를경우 해당저항값에 비례하여 전압강하
이때 전류가 같은 상황은 직렬저항에서는 반드시 일어나기에, 직렬저항회로에서 전압분배가 항상 성립
라고 생각하셔도 문제 없습니다.
저항사다리 회로
버튼이 여러개 있는 장치가 있다고 할게요. 버튼의 경우 애매하게 눌린것이 아닌 눌림(1), 안눌림(0) 두가지 상태로만 구별됩니다. 따라서 버튼 1개의 값을 검출할려면 핀이 1개 필요하고, n개를 검출하려면 n개의 핀이 필요합니다. 이러면 버튼수는 거의 키보드 리모컨 급인데 정작 cpu가 이 버튼을 받기에는 물리적으로 한계가 옵니다. 따라서 "핀 하나에 버튼을 여러개를 연결하되, 각 버튼이 눌릴때 전압값을 다르게 하자"라는 아이디어가 나오게 되었습니다. 예를들자면 핀에 1,2,3번버튼이 다 연결되있어도 1V가 들어오면 1번이 눌림, 3V가 들어오면 3번이 눌림, 5V가 들어오면 안눌림, 이런식으로 말이죠.
저항사다리 회로는 이러한 전압분배법칙을 잘 이용한 회로입니다. 방금 회로에서 VT의 값은 고정되었지만 V2(접지에서 두개의 저항 사이의 전위)값은 저항값만 조절해서 바꿀수 있음을 볼 수 있습니다. 만약 R2저항이 가변저항이라면 V2값은 0V~VT까지의 값을 가질 수 있습니다. 예를들어 V2를 키우고 싶다면 R2를 값을 크게 가지고, V2를 작게하고 싶다면 R2값을 작게 가지면 됩니다. 저항사다리 회로는 이원리를 사용합니다.
이러한 이유로 저항사다리로 값(어떤 버튼이 눌렸는지)을 알아내려면 2진수로 동작하는 디지털핀이 아닌, 연속적인 전압을 측정할줄 아는 ADC핀이 필요합니다. 이게 저항사다리 회로의 가장 큰 단점입니다. 즉 본인이 CPU의 GPIO가 적고 입력버튼도 많지만, 대신 ADC를 양보할 수 있다 라고 한다면 쓰이는 회로입니다.
여기서 이 회로를 한번 볼게요. 전형적인 스위치4개의 저항사다리 회로입니다.
이중에서 버튼별 시나리오를 일부 볼게요.
1. SW1이 눌렸다.: 나머지 버튼이 안눌린 상태이기에 현재 전원에서 GND까지는 10kΩ과 3.3kΩ과만 연결되어 있고 그 사이에 ADC핀이 있습니다. 이때 전압은 5V를 10:3.3으로 가져가기에 3.3kΩ에서의 전압강하(전위차이), 즉 ADC에 걸리는 전압은 계산을 하면 1.24V가 걸립니다.
2. SW4가 눌렸다.: 위의 경우 같습니다. 이번에는 저항만 바뀐것 뿐입니다. 즉 이 경우에는 5V를 10:47로 나눠가져가고 ADC에 걸리는 전압은 47의 것 입니다. 수식을 세우면 (5×47)/(10+47)이고, 계산하면 4.12V가 나오게 됩니다.
3. 아무것도 눌리지 않았다.: 아무것도 눌리지 않았을 경우 10kΩ과 멀티미터를 통해 5V에서 0V로 도달되게 됩니다. 이때 멀티미터의 경우 저항이 매우 높은 Hi-Z입니다.(∞Ω - 저항이 무한) 따라서 매우 적은 전류가 흐르고 10kΩ에서의 전압강하보다 저항값이 훨씬높은 멀티미터에서의 전압강하가 높기 때문에, 10kΩ에서의 전압강하는 상대적으로 거의 없기에 5V가 그대로 걸립니다. (수식으로 봐도 (5×∞)/(10+∞)로 로피탈공식으로 5V가 나옴을 볼 수 있습니다.)
번외. SW1과 SW2가 동시에 눌렸다.: 사실 동작은 비슷합니다. 이 경우 SW1과 SW2에 해당하는 저항이 병렬관계이므로 병렬합을 통해 등가 단일저항으로 표현해주면 됩니다. 이 등가 단일저항을 가지고 전압분배법칙을 사용하면 ADC에 걸리는 전압을 바로 구할 수 있습니다. 그러면 값이 0.95V정도 나옵니다.
저항사다리 회로 설계
늘 강조하다시피 엔지니어는 실전경험이 매우 중요하기에 이것도 실제로 만들어보았습니다. 위와 똑같은 회로로 구성하였습니다.
버튼을 눌러서 전압이 변하면 해당 전압값을 측정하고, 그에 상응하는 버튼을 찾아 출력하는걸 볼 수 있습니다. 이후 멀티미터를 대서 직접 회로에 걸리는 전압을 측정하였습니다. 이때 멀티미터는 Aout과 GND에 병렬로 연결해서 GND대비 버튼눌릴때의 전위를 구해야 합니다.
제가 멀티미터측정결과와 버튼을 둘다 사진찍었으니, 각 버튼이 어떤 저항을 거쳐가는지 고민해보는것도 좋을 것 같습니다.
1. 아무것도 안누름
아무것도 눌리지 않았기에 전원접지랑 직접적으로 연결되지는 않고, 멀티미터를 통해 접지에 연결됩니다. 멀티미터의 저항이 매우크기 때문에 전류자체가 매우 적게 흘러서 아무리 10kΩ이라도 전압강하가 거의 안일어나서 약 5V가 거의 온전히 측정됨을 볼 수 있습니다.(수식은 이미 위에서 유도했으니 건너뛰겠습니다.)
2. 윗쪽 버튼을 누름
윗쪽버튼을 누르니 전압분배법칙을 통해 이후 전압이 4.14V가 나왔습니다. 즉 10kΩ이 0.86V를 강하하고, 누군가가 나머지 4.14V를 강하했을 것입니다. 아래의 다른 버튼들도 다 마찬가지입니다.
3. 아랫쪽 버튼을 누름
아랫쪽버튼을 누르니 전압분배법칙을 통해 이후 전압이 3.25V가 나왔습니다. 즉 10kΩ이 1.75V를 강하하고, 누군가가 나머지 3.25V를 강하했을 것입니다.
4. 왼쪽 버튼을 누름
왼쪽버튼을 누르니 전압분배법칙을 통해 이후 전압이 2.28V가 나왔습니다. 즉 10kΩ이 2.72V를 강하하고, 누군가가 나머지 2.28V를 강하했을 것입니다.
5. 오른쪽 버튼을 누름
오른쪽버튼을 누르니 전압분배법칙을 통해 이후 전압이 1.23V가 나왔습니다. 즉 10kΩ이 3.77V를 강하하고, 누군가가 나머지 1.23V를 강하했을 것입니다.
....
...
..
.
버튼에 연결된 저항해석
각 버튼이 무슨 저항과 매칭되었는지 해석해봅시다. 전압분배법칙 비례식 R1:R2=V1:V2를 사용하면 빠르겠죠?
윗쪽버튼: R1=10kΩ, V1=0.86V (10kΩ이 0.86V를 강하시켰습니다.) & R2=누군가, V2=4.14V (누군가가 4.14V를 강하시켰습니다.) → 10k : R2 = 0.86 : 4.14 → 비례식을 풀면 R2는 48139가 나왔습니다. → 아마 표준저항인 47kΩ이 사용되었을 것입니다.
아랫쪽버튼: R1=10kΩ, V1=1.75V, V2=3.25V → 10k : R2 = 1.75 : 3.25 → R2=18571 → 비표준저항이지만 실제로 18kΩ을 사용하였습니다.
왼쪽버튼: R1=10kΩ, V1=2.72V, V2=2.28V → 10k : R2 = 2.72 : 2.28 → R2=8382 → 표준저항 8.2kΩ을 사용하였습니다.
오른쪽버튼: R1=10kΩ, V1=3.77V, V2=1.23V → 10k : R2 = 1.23 : 3.77 → R2=3263 → 표준저항 3.3kΩ을 사용하였습니다.
답이 맞나 직접 확인해봅시다. 저항띠를 직접 보고 계산하시면 됩니다.
저항띠 계산기는 여기를 참조하시면 편리합니다.: https://www.digikey.kr/ko/resources/conversion-calculators/conversion-calculator-resistor-color-code
윗쪽버튼: 노-보-검-빨-갈 → 47kΩ
아랫쪽버튼: 갈-회-검-빨-갈 → 18kΩ
왼쪽버튼: 회-빨-검-갈-갈 → 8.2kΩ
오른쪽버튼: 주-주-검-갈-갈 → 3.3kΩ
사용된 회로도
-끝!-
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